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H28院試/大阪市立大学/数物系専攻/数学系/基礎的分野

平成28年度/大阪市立大学大学院/理学研究科/数物系専攻/数学系の大学院入試問題の「基礎的分野」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は大阪市立大学のサポートセンターで借りて,コピーすることはできます.

【参考:大阪市立大学/理学部・理学研究科/大学院入試情報

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H27院試/大阪市立大学/数物系専攻/数学系/基礎的分野

平成27年度/大阪市立大学大学院/理学研究科/数物系専攻/数学系の大学院入試問題の「基礎的分野」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は大阪市立大学のサポートセンターで借りて,コピーすることはできます.

【参考:大阪市立大学/理学部・理学研究科/大学院入試情報

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フルネ-セレの公式の導出|曲線に関するベクトルの関係式

3次元ユークリッド空間\R^3上のtをパラメータとする十分滑らかな曲線C:r=r(t)を考えます.このとき,

  • 曲線Cの「進む向き」を表す接ベクトルv_1(t)
  • 曲線Cの「曲がる向き」を表す法線ベクトルv_2(t)
  • 曲線Cの「捻れる向き」を表す従法線ベクトルv_3(t)

を考えることができます.

このとき,v_1(t), v_2(t), v_3(t)とそれらのtに関する導関数{v_1}'(t), {v_2}'(t), {v_3}'(t)との関係をFrenet(フルネ)-Serret(セレ)の公式といいます.

Frenet-Serretの公式は,1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって,1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって,それぞれ独立に発見されました.

この記事では,Frenet-Serretの公式の導出について書きます.

なお,線形代数を解析的に扱うので,大学の最初の1年で習う線形代数と解析にある程度慣れていることが望まれますが,それほど難しいわけではありません.

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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

多項式f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0と行列Aに対して,

    \begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}

とするとき,f(A)fAを代入した行列という.ただし,Iは単位行列である.

Frobenius(フロベニウス)の定理は,行列Aの固有値と,多項式f(x)に行列Aを代入した行列f(A)の関係を述べた定理で,f(A)の固有値を求めるのに非常に有用である.

なお,この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で,[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照されたい.

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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

距離空間における連続性は「\epsilon\delta論法」を用いて定義するのが普通である.

しかし,「\epsilon\delta論法」は距離を用いた定義のため,一般には距離が定義されていない位相空間にそのまま「\epsilon\delta論法」は適用できない.

そのため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

そこで,もし距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換えることができれば,その条件を位相空間上の写像の連続性の定義とすることができる.

この記事では,位相空間の定義,距離空間の定義から確認し,距離空間上の写像の連続性について考察する.

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書評|代数学1 群論入門(雪江明彦著,日本評論社)

代数学1 群論入門

本記事では,

「代数学1 群論入門」
(雪江明彦著,日本評論社)

の紹介をする.

本書は群論の入門書であり,続巻として

  • 「代数学2 環と体とガロア理論」
  • 「代数学3 代数学の広がり」

がある.

具体例が豊富な上に,それぞれが非常に丁寧に解説されており,非常に理解しやすい.

群論の導入書として,強くオススメできる好著である.

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書評|線型代数入門(齋藤正彦著,東京大学出版会)

線型代数学入門

本記事では

「線型代数入門」
(齋藤正彦 著/東京大学出版会)

の紹介をする.

本書は線型代数の入門書であり,本書に対応した演習書「線型代数演習」(齋藤正彦 著,東京大学出版会)も出版されている.

線形代数の教科書としては,半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書.

とくに,数学系の学生が本書を読めるようにすることは良い勉強になるであろう.

本書が発行されて以来,多くの教科書が本書を真似て書かれてきたといっても過言ではないほど,日本の線形代数の指導方針にインパクトを与えた名著である.

また,著者は本書によって「日本数学会出版賞」を受賞していることも,本書の良さがうかがえる.

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