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フルネ-セレの公式の導出|曲線に関するベクトルの関係式

3次元ユークリッド空間$\R^3$上の$t$をパラメータとする滑らかな曲線$C:r=r(t)$に対して

  • 「進む向き」を表す接ベクトル$v_1(t)$
  • 「曲がる向き」を表す法線ベクトル$v_2(t)$
  • 「ねじれる向き」を表す従法線ベクトル$v_3(t)$

を考えることができます.

このときの$[v_1(t),v_2(t),v_3(t)]$と$[{v_1}'(t),{v_2}'(t),{v_3}'(t)]$との関係を[Frenet(フルネ)-Serret(セレ)の公式]といいます.

[Frenet-Serretの公式]は

  • 1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって
  • 1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって

それぞれ独立に発見されました.

この記事では,[Frenet-Serretの公式]を導出します.

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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

多項式$f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$と行列$A$に対して,

    \begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}

とするとき,$f(A)$は$f$に$A$を代入してできる行列となります.ただし,$I$は単位行列です.

[Frobenius(フロベニウス)の定理]は行列$A$の固有値と行列$f(A)$の固有値の関係を述べた定理で,$f(A)$の固有値を求めるのに便利です.

なお,この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で,[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照してください.

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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

距離空間における連続性は「$\epsilon$-$\delta$論法」を用いて定義するのが普通である.

しかし,「$\epsilon$-$\delta$論法」は距離を用いた定義のため,一般には距離が定義されていない位相空間にそのまま「$\epsilon$-$\delta$論法」は適用できない.

そのため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

そこで,もし距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換えることができれば,その条件を位相空間上の写像の連続性の定義とすることができる.

この記事では,位相空間の定義,距離空間の定義から確認し,距離空間上の写像の連続性について考察する.

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書評|代数学1 群論入門(雪江明彦著,日本評論社)

代数学1 群論入門

本記事では,

「代数学1 群論入門」
(雪江明彦著,日本評論社)

の紹介をする.

本書は群論の入門書であり,続巻として

  • 「代数学2 環と体とガロア理論」
  • 「代数学3 代数学の広がり」

がある.

具体例が豊富な上に,それぞれが非常に丁寧に解説されており,非常に理解しやすい.

群論の導入書として,強くオススメできる好著である.

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LaTeXコマンド集2|二項関係子と二項関係子を出力する

二項関係子と二項関係子のLaTeXコマンドを紹介します.

  • 二項関係子とは,2つの数学的対象の関係を表すもの
  • 二項演算子とは,2つの数学的対象の演算を表すもの

で,単純なものでは

  • 等号$=$は「2つの対象が等しい」という関係を表す二項関係子
  • プラス$+$は「2つの対象の和を計算せよ」という演算を表す二項演算子

ですね.

なお,本稿では以下のように3つのパッケージ

  • amsmath.sty
  • amsfonts.sty
  • amssymb.sty

を用います.

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LaTeXコマンド集1|ギリシャ文字の入力と並びと読み

ギリシャ文字のLaTeXコマンドを紹介します.

ギリシャ文字は

  • 小文字
  • 大文字

はもちろん,小文字の異字体や大文字の斜体を出力することもできます.

また,この記事の最後には補足としてギリシャ文字の順と読みを掲載しています.

なお,本稿では以下のように3つのパッケージ

  • amsmath.sty
  • amsfonts.sty
  • amssymb.sty

を用います.

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書評|線型代数入門(齋藤正彦著,東京大学出版会)

線型代数学入門

本記事では

「線型代数入門」
(齋藤正彦 著/東京大学出版会)

の紹介をする.

本書は線型代数の入門書であり,本書に対応した演習書「線型代数演習」(齋藤正彦 著,東京大学出版会)も出版されている.

線形代数の教科書としては,半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書.

とくに,数学系の学生が本書を読めるようにすることは良い勉強になるであろう.

本書が発行されて以来,多くの教科書が本書を真似て書かれてきたといっても過言ではないほど,日本の線形代数の指導方針にインパクトを与えた名著である.

また,著者は本書によって「日本数学会出版賞」を受賞していることも,本書の良さがうかがえる.

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書評|関数解析(黒田成俊 著/共立出版)

関数解析

本記事では,

関数解析
(黒田成俊 著/共立出版)

の紹介をします.

本書は関数解析の入門書であり,大学の関数解析の授業でも教科書指定されることがよくあります.

このように,和書の関数解析の教科書の中では非常にポピュラーであり,初学者にとっても非常に読みやすい良書です.

その理由は,前提知識をあまり仮定せず,あまり行間がないことにあります.

関数解析を初めて学ぶ学生にオススメしたい一冊です.

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